Wszystko... jest liczbą

Układanka składa się z dziewięciu kwadratów o długościach boku wyrażonych różnymi liczbami naturalnymi. Należy ułożyć je w prostokącie o rozmiarach 33×32 jednostki. Dla ułatwienia najmniejszy kwadrat już jest na swoim miejscu.

Na początku XX wieku postawiony został problem – czy kwadrat może zostać podzielony na kwadraty, z których każdy będzie miał inną wielkość? Zaczęto również rozważać, czy możliwy jest podobny podział prostokąta. Podział prostokąta na dziewięć różnych kwadratów został przedstawiony w 1925 roku przez młodego lwowskiego matematyka Zbigniewa Moronia (1904-71). W 1940 roku udowodniono, że zaproponowany przez niego podział wykorzystuje najmniejszą z możliwych liczbę kwadratów. Z kolei pierwsza konstrukcja kwadratu zbudowanego z 55 różnych kwadratów została przedstawiona w 1939 roku przez Rolanda Sprague'a (1894-1967). Podział kwadratu na najmniejszą możliwą liczbę kwadratów został znaleziony w 1978 roku przez A.J.W. Duijvestina (1927-98); kwadratów w tym podziale jest 21. 

Płytki z liczbami należy ułożyć w ten sposób, żeby suma liczb w każdym wierszu, każdej kolumnie i na każdej przekątnej wyniosła 34.

Kwadraty magiczne znane były już w starożytności. Kwadrat magiczny, w którym umieszczono liczby od 1 do 9, został opisany ok. 2800 roku p.n.e. przez Loh-Shou. W Europie łamigłówki tego typu pojawiły się w XIV wieku. Kwadrat, który należy ułożyć tutaj, należy do najbardziej znanych. W 1514 roku Albrecht Dürer (1471-1528) umieścił go na miedziorycie zatytułowanym Melancholia I.

Istnieje tylko jeden kwadrat magiczny o rozmiarach 3×3 (jeśli wykluczyć kwadraty powstające z niego przez obrót, odbicie lustrzane i pomnożenie przez stałą wartość ). W 1693 roku opublikowana została lista wszystkich 880 kwadratów 4×4, natomiast kwadraty o rozmiarach 5×5 zostały policzone dopiero w 1973 roku i jest ich 275 305 224. Liczba kwadratów magicznych o rozmiarach 6×6 i większych nie została dotąd obliczona.

Z 12 klocków należy ułożyć prostokąt o rozmiarach 6×10.

12 klocków tworzących pentomino to wszystkie możliwe płaskie kształty, które da się ułożyć z 5 kostek. Klocki tworzące pentomino są też wykorzystywane jako puzzle, ponieważ można z nich układać rozmaite kształty. Nazwę łamigłówce nadał matematyk Solomon Golomb (ur. 1932). Ułożenie prostokąta o wymiarach 6×10 zostało przeanalizowane w 1960 roku przez Briana (1926-64) i Jennifer Haselgrove (ur. 1931), którzy udowodnili, że istnieje dokładnie 2339 różnych rozwiązań. 

Z przygotowanych klocków należy ułożyć kształt litery T. Można również spróbować ułożyć również inne kształty znajdujące się na planszy. Układając figury, należy przestrzegać następujących reguł:

·         należy wykorzystać wszystkie części,

·         elementy muszą leżeć obok siebie, ale nie mogą na siebie nachodzić,

·         elementy można obracać na drugą stronę.

Puzzle „T" pojawiły się w 1903 roku i zostały wykorzystane do promocji herbaty pod hasłem „Make the T(ee)". Cztery klocki mogą jednak zostać użyte do ułożenia wielu innych kształtów. 

Kulki wpadające do poszczególnych przegródek pod deską tworzą histogram rozkładu dwumianowego, zbliżonego do rozkładu normalnego. Doświadczenie z deską Galtona ilustruje więc sposób powstawania w naturze rozkładu normalnego pod wpływem drobnych losowych odchyleń. Deska została wymyślona przez sir Francisa Galtona (1822-1911), angielskiego przyrodnika, podróżnika i antropologa. Galton jako pierwszy zastosował metody statystyczne do badań antropologicznych.

Pierwszy bloczek to to podstawa, na której należy układać pozostałe. Celem jest takie ułożenie, by używając jak najmniejszej liczby bloczków sprawić, że jeden z nich znajdzie się całkowicie poza podstawą. Można to zrobić używając zaledwie czterech bloczków.

Jak daleko można wysunąć bloczki?

W najprostszym rozwiązaniu, w którym każdy kolejny bloczek wysunięty jest nieco dalej, maksymalne możliwe wysunięcie można opisać wzorem d=a/2n, gdzie a oznacza długość bloczka, n zaś numer bloczka, poczynając od góry. Czyli, idąc od góry, kolejne bloczki są wysunięte o 1/2, 1/4, 1/6 itd. długości bloczka. Sumując kolejne wysunięcia już przy czterech bloczkach można przekroczyć 1. Badając własności ciągu a_n=1/2n można stwierdzić, że suma takiego ciągu wynosi nieskończoność. Oznacza to, że układając bloczki, teoretycznie można wysunąć je dowolnie daleko poza podstawę.

Jednak układając bloczki, można je nie tylko wysuwać w prawo, ale również dokładać dodatkowe bloczki na stosie. Okazuje się, że dzięki temu da się znacznie szybciej zwiększyć wysunięcie poza podstawę.

W pierwszych latach nauki matematyki w szkole podstawowej poznajemy „przepis" na wykonywanie mnożenia polegający na mnożeniu jednej liczby kolejno przez cyfry z drugiej liczby i zapisywanie wyników pod sobą. Taki „przepis" na wykonanie jakiejś operacji w matematyce nazywany jest algorytmem. Jednak ten poznany w szkole sposób nie jest jedynym możliwym algorytmem dla mnożenia. Na wystawie można przeprowadzić proste rachunki uzywając nieco innych sposobów. Pierwszy z nich to Gelosia albo mnożenie w kratkach. Metoda jest bardzo zbliżona do mnożenia pisemnego, tylko nieco inaczej zapisywane są wyniki pośrednie. Drugi to mnożenie przez rysowanie linii. Obydwa sposoby są bardzo zbliżone do typowego mnożenia. Trzeci sposób - mnożenie po rosyjsku opiera się na zupełnie innych zasadach. W istocie sprowadza się do przeprowadzenia operacji mnożenia z użyciem systemu dwójkowego. 

Liczydło wywodzi się od abaku – tabliczki, na której obliczenia wykonywano przy pomocy kamyków. Najstarsze zachowane liczydło pochodzi z czasów starożytnego Rzymu. Wyposażone było w kamyczki przesuwane w rowkach. Najpopularniejszy w Polsce wzór liczydła, z koralikami umieszczonymi po 10 na każdym z prętów, wywodzi się z Bliskiego Wschodu. Liczydła miały różny wygląd w zależności od kraju i zliczanych wartości.