Wielościany

Klasyczną geometrię często dzielimy na dwie odrębne części – planimetrię zajmującą się badaniem własności figur na płaszczyźnie, oraz stereometrię zajmującą się przestrzenią trójwymiarową. Wśród zagadnień stereometrii, obiektami badanymi bardzo intensywnie od najdawniejszych czasów były wielościany, czyli bryły tworzone z połączonych wielokątów. Wśród nich szczególną rolę odgrywają wielościany foremne, czyli takie, które są bryłami wypukłymi, których wszystkie ściany są identycznymi wielokątami, a w każdym wierzchołku zbiega się identyczna liczba ścian. Istnieje tylko 5 brył, które spełniają te warunki. Nazywamy je bryłami platońskimi,  gdyż Platon jako pierwszy odnotował fakt istnienia ściśle określonej ich liczby. Platon powiązał znane wielościany foremne z czterema żywiołami (ogień - czworościan, ziemia - sześcian, powietrze - ośmiościan, woda - dwudziestościan). Po odkryciu dwunastościanu foremnego włączył go do swojego systemu jako symbol całego wszechświata.

Bryły Platońskie zostały wykorzystane przez Johannesa Keplera (1571-1630) do stworzenia modelu budowy Układu Słonecznego, który przedstawił w 1696 w  pracy Mysterium Cosmographicum, Na sferze o promieniu orbity Merkurego opisał ośmiościan a na nim opisał następną sferę, której promień odpowiadał promieniowi orbity Wenus. Opisując na tej drugiej sferze  dwudziestościan, a na nim kolejną trzecią sferę, to jej promień odpowiada promieniowi orbity Ziemi. I tak kolejno dla następnych wielościanów foremnych i planet: dwunastościan – Mars, czworościan – Jowisz, sześcian - Saturn.  Odkryta prawidłowość utwierdziła Keplera w głębokim przekonaniu, że Bóg jest matematykiem. 

Bryły Platońskie

Używając tylko jednego rodzaju wielokątów, należy ułożyć wielościan foremny, czyli bryłę, w której wszystkie ściany są identycznymi wielokątami foremnymi oraz z każdego wierzchołka wychodzi identyczna liczba krawędzi.

Istnieje tylko pięć takich wielościanów. Nazywamy je bryłami platońskimi, gdyż Platon jako pierwszy odnotował fakt istnienia ściśle określonej ich liczby. Filozof powiązał cztery z nich z żywiołami (ogień – czworościan, ziemia – sześcian, powietrze – ośmiościan, woda – dwudziestościan). Dwunastościan natomiast symbolizował kosmos – uporządkowany wszechświat.

Kostka Mikusińskiego

W kostce Mikusińskiego 27 kostek zostało połączonych w 6 klocków o następujących kształtach:

Spróbuj ułożyć z nich sześcian. Łamigłówka ma tylko dwa rozwiązania!

Łamigłówkę tę wymyślił polski matematyk Jan Mikusiński (1913-87), a szerzej znana stała się dzięki innemu polskiemu matematykowi Hugonowi Steinhausowi (1887-1972), który zamieścił jej opis w popularyzującej matematykę książce Kalejdoskop matematyczny. (Opis kostki Mikusińskiego po raz pierwszy pojawił się w wydaniu z 1955 roku).

Kostka Mikusińskiego

Piramida

Z dwóch identycznych klocków należy ułożyć piramidę w kształcie czworościanu foremnego.

Wydaje się to bardzo łatwe – przecież mamy tylko dwa klocki. Rozwiązanie jest proste, ale niełatwo je znaleźć… 

Piramida z kulek

Dwadzieścia kulek można ułożyć w stos, podobnie jak robią to sprzedawcy owoców na targu. W tym przypadku stos ma kształt czworościanu foremnego.

Jeśli kulki są ze sobą połączone po trzy lub po cztery, zadanie to staje się trudniejsze, ale wciąż jest możliwe do wykonania.

Kulki w tym doświadczeniu układane są w ten sposób, że odcinki łączące ich środki układają się w sieć trójkątów równobocznych, kolejne warstwy są zaś układane w zagłębieniach niższej warstwy. W 1611 roku Johannes Kepler (1571-1630) postawił hipotezę, że takie ułożenie pozwala na pozostawienie najmniejszej wolnej przestrzeni. Udowodniono to dopiero w 1998 roku. Dowód przedstawiony przez Thomasa Halesa (ur. 1958) zajmował 250 stron druku i towarzyszyło mu 3 GB programów komputerowych, danych i obliczeń. W 2003 roku grupa 12 recenzentów ogłosiła, że w 99% są przekonani o prawidłowości dowodu.

Pojemny sześcian

Każdą z brył znajdującą się na tym stanowisku możesz umieścić w szklanym sześcianie. Jednak nie zawsze będzie to proste…