Wszystko... jest liczbą

Twierdzenie mówiące o tym, że dla trójkąta prostokątnego suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych jest równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej, zostało udowodnione przez pitagorejczyków w założonej przez Pitagorasa szkole w Krotonie (VI w. p.n.e.).

Jednak prawdopodobnie samo twierdzenie i jego konsekwencje były znane już wcześniej. „Trójki Pitagorejskie" – czyli liczby takie jak np. 3, 4 oraz 5 spełniające twierdzenie znane były już w Babilonii i Egipcie. Trójki Pitagorejskie mogły znaleźć praktyczne zastosowanie w wyznaczaniu kątów prostych. Jeśli na sznurku w równych odstępach zawiązanych zostanie 12 węzłów, to można z niego ułożyć trójkąt prostokątny. Twierdzenie to znane było także w Chinach i Indiach. W najsłynniejszym dziele geometrii, Elementach Euklidesa, podanych zostało 8 dowodów tego twierdzenia, a w 1940 roku Elisha Scott Loomis wydał książkę, w której znajduje się ich 357.

Uogólnieniem twierdzenia na trójkąty inne niż prostokątne jest twierdzenie cosinusów: c² = a² + b² – 2ab cosγ, które dla γ = 90° przechodzi w twierdzenie Pitagorasa.

Łańcuszek składa się z ogniw o identycznych rozmiarach. Jeśli przyjąć, że długość ogniwa wynosi 1, to z łańcuszka można łatwo zbudować trójkąty, których długości boków wyrażone będą liczbami naturalnymi (1, 2, 3…). Należy tak dobrać długości boków, aby powstał trójkąt prostokątny.

Najłatwiej wykonać to zadanie, jeśli kolejne boki trójkąta będą miały długości odpowiednio 3, 4 oraz 5. Ale nie jest to jedyna taka trójka liczb; są nimi również (5, 12, 13), (7, 24, 25) czy (8, 15, 17). To tzw. trójki pitagorejskie, czyli trójki liczb całkowitych (x,y,z) spełniające równanie x²+y²=z².  Były one znane już w starożytnym Egipcie i Babilonie, a więc jeszcze przed narodzinami Pitagorasa. Sama metoda wyznaczania kąta prostego za pomocą sznurka, na którym w jednakowych odstępach zawiązano 12 węzłów, prawdopodobnie znana była w Egipcie.

Obracając powoli koło, można całą ciecz zgromadzić w większym kwadracie. Następnie obracając dalej koło, ciecz przelewa się i wypełnia dwa mniejsze kwadraty.

Objętość cieczy jest niezmienna. Fakt, że wypełnia albo jeden duży, albo dwa mniejsze kwadraty, stanowi zatem empiryczny dowód na prawdziwość twierdzenia Pitagorasa.

Cztery identyczne trójkąty prostokątne możesz umieścić w ramie na dwa sposoby.

W pierwszym układzie pole pozostałe w ramie równe jest kwadratowi przeciwprostokątnej. W drugim pole pozostałe w ramie to dwa kwadraty, których długości boków odpowiadają przeciwprostokątnym.

Ten dowód prawdziwości twierdzenia Pitagorasa znany był już w starożytności. Historycy nauki przypuszczają, że właśnie w taki sposób twierdzenie zostało udowodnione przez pitagorejczyków.

Z 25 identycznych kostek można ułożyć albo jeden kwadrat o długości boku równej pięciu bokom kostek, albo dwa kwadraty o długościach boku równych trzem i czterem bokom kostki.

W ten sposób, za pomocą układanki, można udowodnić twierdzenie Pitagorasa.