Wszystko... jest liczbą

Dla większości ludzi trudno byłoby znaleźć bardziej odległe od siebie dziedziny niż matematyka i muzyka. Muzyka – to wolna od sztywnych norm i reguł sztuka, która odnosi się bezpośrednio do emocji, zaś matematyka to podstawa nauk ścisłych. Muzyka tworzona jest z dźwięków. I to właśnie w nich, ich uporządkowaniu, częstotliwości i harmonii znajdziemy zasady matematyczne. Ścisły związek matematyki i muzyki znany był już od czasów starożytnych.

Różnicę częstotliwości pomiędzy dwoma dźwiękami, które słyszymy jednocześnie lub zaraz po sobie nazywamy interwałem.  Brzmienie tych dwudźwięków może być miłe lub nieprzyjemne. Większość ludzi podobnie ocenia brzmienie różnych interwałów. Grecki uczony Pitagoras (V w. p.n.e)  badał to zjawisko przy pomocy monochordu – instrumentu o jednej strunie. Zauważył, że jeżeli długości jednakowo napiętych strun pozostają w stosunku małych liczb całkowitych, np. 1:2, 2:3 czy 3:4 to dzięki te brzmiąc razem dają przyjemne wrażenie. Doszedł do wniosku, że harmonia dźwięków wyraża się przez stosunek dwóch liczb i jest tym pełniejsza im liczby są mniejsze.

Najważniejszym interwałem dla Pitagorasa była kwinta wyrażana stosunkiem częstotliwości 3:2.

Według legendy inspiracją dla Pitagorasa było pewne zdarzenie. Wracając do domu Pitagoras przechodził obok kuźni, z której dochodziły go dźwięki młotów uderzających w kowadła. Zauważył, że wysokość dźwięku zmienia się  w zależności od wielkości kowadła.

Matematyka stała również u podstaw konstrukcji skal muzycznych. Najczęściej używana jest skala, w której oktawa podzielona jest na dwanaście dźwięków. W pierwszej skali, zaproponowanej przez Pitagorasa, do konstrukcji skali wykorzystane zostały kwinty. Częstotliwości kolejnych dźwięków uzyskano mnożąc częstotliwość przez 3/2 i ewentualne dzieląc przez 2, aby sprowadzić dźwięk do wyjściowej oktawy. Jednak osiągnięty tą metodą dwunasty dźwięk ma częstotliwość inną niż podwojenie częstotliwości dźwięku, od którego zaczęto budować gamę. Różnica ta nosi nazwę komatu pitagorejskiego.

Nieco inną konstrukcję gamy zaproponował grecki filozof Didymos (I w. p.n.e.), który wykorzystał także podział struny w 1/5 jej długości. W ten sposób otrzymał tercję wielką, określoną stosunkiem 5/4. Teraz interwały można było obliczać, stosując mnożenie, lub dzielenie nie tylko przez współczynnik 3/2, lecz również przez 5/4, co w przypadku wielu interwałów zmniejszyłoby liczby, tworzące ich współczynniki. Na podstawie takich obliczeń powstał tzw. „system naturalny", utworzony z czterech dźwięków pitagorejskich - f, c, g, d- oraz z dźwięków odległych od nich o tercję wielką w górę i w dół.

W tym systemie występowały dwa rodzaje  całych tonów o współczynnikach 9/8 oraz 10/9. Podobnie, jak w systemie pitagorejskim, dwa półtony nie dawały całego tonu.

Strój Didymosa dobrze sprawdzał się w wielogłosowej muzyce średniowiecza, gdzie głosy często były prowadzone w odległości tercji. 

W XVIII w. wprowadzono do muzyki nowy rodzaj stroju muzycznego – skalę jednostajnie temperowaną. W stroju tym oktawa została podzielona na 12 równych półtonów. Stosunek częstotliwości kolejnych dźwięków wyrażał się pierwiastkiem dwunastego stopnia z dwóch. Strój taki pozwalał na łatwą zmianę tonacji utworów muzycznych.  Skala ta obecnie jest najczęściej używana do strojenia instrumentów.

Każdy z dwóch instrumentów obejmuje jedną oktawę. Sztabki w dolnym rzędzie składają się na podstawową gamę C-dur, sztabki zaś w górnym rzędzie stanowią jej uzupełnienie. Jednak instrumenty różnią się sposobem nastrojenia. Ksylofon po lewej został nastrojony w skali Pitagorasa, w której kolejne dźwięki gamy uzyskano, sprowadzając do jednej oktawy szereg siedmiu kolejnych kwint (dwóch dźwięków, których stosunek częstotliwości wynosi 3/2). Ksylofon po prawej został nastrojony w używanym obecnie systemie jednostajnie temperowanym, w którym wszystkie półtony są równe.

W związku z tym brzmienie tych samych sztabek na obu ksylofonach może się nieco różnić.

Pod jedną ze strun znajduje się poprzeczka umożliwiająca podwyższenie dźwięku. Po szarpnięciu jednocześnie obu strun można ocenić czy dwa dźwięki brzmią przyjemnie?

Należy samodzielnie znaleźć takie położenia poprzeczki, w którym dźwięki będą miały przyjemne lub nieprzyjemne brzmienie i porównać długości strun.

Podobne eksperymenty ponad 2500 lat temu prowadził Pitagoras (VI w. p.n.e.), który jako jeden z pierwszych próbował matematycznie opisać dźwięki. Zauważył, że jeżeli długości jednakowo napiętych strun można wyrazić stosunkiem małych liczb całkowitych, np. 1:2, 2:3 czy 3:4, to dźwięki te słyszane jednocześnie brzmią przyjemnie. Doszedł do wniosku, że harmonia dźwięków wyraża się przez stosunek dwóch liczb i jest tym pełniejsza, im liczby są mniejsze. 

Należy przyłożyć ucho do różnych rur i posłuchać dźwięku z ich wnętrza.

Każda z rur szumi w nieco inny sposób. Częstotliwość szumu można powiązać z kształtem i rozmiarem rury. W przypadku rury o kształcie walca z otwartymi końcami częstotliwość szumu jest odwrotnie proporcjonalna do długości rury.

Zjawisko wzmacniania określonych częstotliwości w  zależności od długości rury wykorzystywane jest w instrumentach dętych.