Wszystko... jest liczbą

Zatem Fabrycjuszu już to mam: najbardziej prawdziwą ścieżką, którą podąża planeta [Mars] jest elipsa, którą Dürer nazywa również owalem, lub z pewnością tak bliska elipsie, że różnica jest zaniedbywalna.

Johannes Kepler (1571-1630)

Jeśli powierzchnia stożka zostanie przecięta płaszczyzną, to pojawi się na niej ślad będący jedną z następujących krzywych: okrąg, elipsa, hiperbola lub parabola (oraz w szczególnych przypadkach punkt lub para prostych). Rodzina krzywych stożkowych występuje w wielu praktycznych problemach. W ten sposób opisywane są orbity ciał niebieskich i trajektorie rakiet kosmicznych. Krzywe te mają również ciekawe własności geometryczne. Badanie własności krzywych stożkowych – znalezienie opisujących je równań, obliczanie długości łuków z nich wyciętych i pól powierzchni wycinków ograniczonych krzywymi stożkowymi – było impulsem do rozwoju takich dziedzin matematyki, jak geometria, algebra i rachunek różniczkowy.

W kartezjańskim układzie współrzędnych krzywe te opisywane są równaniami drugiego stopnia.

Krzywe stożkowe na niebie

W 1609 roku Johannes Kepler (1571‑1630) opublikował dzieło Astronomia Nova, w którym przedstawił dwa prawa dotyczące ruchu planet. Pierwsze z nich głosiło, że planety poruszają się wokół Słońca po orbitach eliptycznych, Słońce zaś znajduje się w jednym z ognisk tej elipsy. Kepler doszedł do tego wniosku na podstawie prowadzonych obserwacji. Zjawisko wyjaśnione zostało dopiero dzięki prawu powszechnego ciążenia sformułowanemu przez sir Isaaca Newtona (1642‑1727). Wynika z niego, że orbity obiektów poruszających się pod wpływem przyciągania grawitacyjnego są zawsze krzywymi stożkowymi.

Na wyznaczonym obszarze trzeba położyć kartkę i umieścić na niej dwa pionki. Następnie założyć na założyć na pionki pętlę ze sznurka włożyć w nią ołówek i można zacząć rysować elipsę.

Linię zakreślaną przez punkt znajdujący się w stałej odległości od środka koła toczącego się wewnątrz okręgu nazywamy hipotrochoidą. W szczególnym przypadku, gdy promień wewnętrznego koła jest dokładnie dwa razy mniejszy od promienia zewnętrznego okręgu, wszystkie punkty znajdujące się wewnątrz mniejszego koła zataczają elipsy, a punkty znajdujące się na krawędzi mniejszego koła poruszają się po prostej. Ten drugi efekt został odkryty przez włoskiego matematyka Girolama Cardana (1501-76). Jest on wykorzystywany w konstrukcji przekładni zamieniającej ruch obrotowy na ruch liniowy.

Obok stożka, na stoliku znajdują się płytki z wyciętymi kształtami: okręgu, elipsy, paraboli i hiperboli. Kształt linii należy dopasować do odpowiedniego miejsca na stożku.

Używany tutaj miniaturowy teleskop zbudowany jest w układzie zaproponowanym przez sir Isaaca Newtona (1643-1727). Jego układ optyczny tworzą dwa zwierciadła: paraboliczne zwierciadło główne i płaskie zwierciadło pomocnicze, które kieruje światło do umieszczonego z boku okularu.

Newton zbudował swój teleskop w 1668 roku i był to pierwszy teleskop wykorzystujący zwierciadła. Teleskopy zwierciadłowe o lustrach, których kształty są paraboloidami bądź hiperboloidami obrotowymi, są do dziś podstawowymi przyrządami obserwacyjnymi w astronomii. 

Przesuwając do przodu i do tyłu mały telewizor, należy ustawić  go tak, by obraz na ekranie miał najlepszą jakość.

Anteny często mają kształt paraboloidy obrotowej. Oznacza to, że wszystkie promienie, które padają równolegle do osi anteny, przecinają się w jednym punkcie – ognisku. Antena o takim kształcie może służyć zarówno jako część odbiornika, jak i nadajnika sygnałów elektromagnetycznych. Natomiast anteny satelitarne zazwyczaj mają nieco zmodyfikowany kształt – ognisko znajduje się poza osią. Dzięki temu detektor umieszczony w ognisku nie zasłania samej anteny. Taka antena została wykorzystana w tym eksperymencie. Podczas przesuwania telewizorka końcówka jego anteny wędruje wzdłuż linii łączącej ognisko ze środkiem paraboloidy. Gdy antena telewizora znajdzie się w ognisku, wtedy sygnał odbierany z nadajnika będzie najsilniejszy.

Po obróceniu górnego okręgu należy zobaczyć, jaki kształt przyjmują linki .

Po obróceniu koła każda linka „ustawia się" ukośnie, ale wciąż jest prostym odcinkiem. Jednak patrząc na powierzchnię wyznaczoną przez sznurki, widoczne jest wyraźne zakrzywienie.

Kształt powierzchni to hiperboloida jednopowłokowa. Powierzchnię tę można skonstruować z linii prostych. Charakteryzuje się dużą wytrzymałością na skręcanie. Dlatego jest ona wykorzystywana w architekturze – np. w konstrukcji chłodni kominowych w elektrowniach.