Rzutowanie

Prawie każdemu zdarzyło się kiedyś stanąć na prostym odcinku torów kolejowych i patrząc w dal, dostrzec, że biegnące równolegle szyny „spotykają się" na horyzoncie. Podobnie, patrząc na dowolny obiekt (np. budynek) w kształcie prostopadłościanu, zauważymy, że jego przednia ściana wydaje się być większa niż tylna. Dzieje się tak dlatego, że nasz zmysł wzroku pracuje raczej wg zasad geometrii rzutowej niż zwykłej geometrii euklidesowej.

Geometria rzutowa opisuje te własności figur, które nie zależą od tego, z której strony na nie patrzymy. To tak, jakbyśmy badając własności jakiejś figury, robili jej zdjęcia ze wszystkich stron, a następnie określali, jakie cechy są wspólne dla wszystkich zdjęć. W geometrii rzutowej dwie równoległe proste zawsze mają punkt wspólny. Ważnym pojęciem geometrii rzutowej jest „płaszczyzna rzutowa". Aby ją otrzymać, musimy do zwykłej płaszczyzny euklidesowej dołączyć „horyzont" – czyli punkty, w których będą się przecinać proste. Ciekawą cechą geometrii rzutowej jest zasada dualności, mówiąca, że dowolne twierdzenie, które jest prawdziwe na płaszczyźnie rzutowej, pozostaje prawdziwe, jeśli zamienimy w nim pojęcie „prosta" na „punkt" (i odpowiednio „przechodzi przez" na „leży na").

Niecodzienne lustro

Obraz oglądany w zwykłym lustrze ma zamienioną prawą i lewą stronę. Kiedy podnosisz prawą rękę, Twoje odbicie w lustrze podnosi lewą! Jeśli jednak złożymy dwa lustra, tak aby między nimi powstał kąt prosty, obraz w nich odbity nie będzie miał zamienionych stron. Jeśli podniesiesz prawą rękę, Twoje odbicie także uniesie prawą rękę. Przywykliśmy do obrazu widocznego w typowym lustrze, więc odbicie, w którym strony nie są zamienione, wydaje się dziwne.

Trójkąty

Trójkąt na rączce  należy umieścić w strumieniu światła. Następnie manewrując trójkątem, trzeba ustawić go tak, aby jego cień pokrył się z liniami siatki.

Siatka złożona jest z trójkątów równobocznych o identycznych rozmiarach. Choć trójkąty na rączce, mają różne kształty, to każdy z nich da się ustawić tak, aby jego cień tworzył trójkąt równoboczny.

W geometrii rzutowej wszystkie trójkąty możemy wzajemnie na siebie przekształcić. Zawsze można dobrać taką perspektywę, z której trójkąty będą wyglądać identycznie. 

Bryły

Siatkę na ekranie tworzą różne figury - trójkąty, czworokąty i sześciokąty. Weź któryś z wielościanów na rączce i umieść go w strumieniu światła. Należy ustawić go w taki sposób, aby cień figury pokrył się z którymś z kształtów na siatce. A może niektóre wielościany da się ustawić tak, aby ich cienie pokryły się z różnymi figurami?

Pomimo że bryły użyte w tym doświadczeniu nie są skomplikowane, ich rzuty mogą mieć różne kształty, np. rzutem sześcianu może być kwadrat, prostokąt, a nawet sześciokąt.

Jaka to figura?

Czy istnieje figura, której cień – w zależności od jej położenia – będzie kołem, kwadratem albo trójkątem równobocznym?

Otwory w desce są odpowiednikami cienia rzucanego przez klocek. W zależności od położenia klocka można go przesunąć przez otwór w kształcie koła, kwadratu lub trójkąta.

Cienie

Czy pojedynczy klocek może dawać cienie będące różnymi literami alfabetu? Po nałożeniu klocka na ostrze można przyciskami załączać trzy źródła światła. Dają one wzajemnie prostopadłe do siebie strumienie światła. W ten sposób, nie poruszając klockiem, możesz oglądać go z różnych perspektyw.

Podobna figura została zamieszczona na okładce wydanej w 1979 roku książki Douglasa Hofstadtera pt. Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid.

Metoda pokazywania trzech wzajemnie prostopadłych rzutów przedmiotu używana jest w technice do przedstawiania projektów przedmiotów bądź ich części.